MAKALAH
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Suku banyak atau polinominal merupakan pernyataan
matematika yang melibatkan penjumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih
variable dengan koefisien. Bisa dibilang polinominal merupakan bentuk aljabar
dengan pangkat perubah bilangan bulat positif.
Polinom/ suku banyak adalah bentuk suku-suku dengan
banyak terhingga yang disusun dari perubah/ variable dan konstanta. Operasi
yang digunakan hanya penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pangkat bilangan
bulat taknegatif (Positif).
Nilai dari suatu suku banyak atau polynomial di
suatu titik dapat ditentukan melalui dua cara, yaitu cara substitusi dan
horner. Cara substitusi diperoleh hanya dengan mengganti nilai variable x
dengan nilai dititik mana ingin diketahui nilai suku banyak f(x) tersebut.
Sedangkan cara yang ke dua, cara horner, diperoleh dengan meletakan
koefisien-koefisien yang dimiliki variable-variabelnya pada bagian dengan
aturan yang telah ditentukan.
Dalam sebuah polinom terdapat beberapa istilah,
yaitu suku, peubah/variable, koefisien, suku tetap/konstanta, dan pangkat
tertinggi/derajat. Berikut ini dijelaskan istilah-istilah tersebut berdasarkan
bentuk umum polinom yang diungkapkan sebelumnya.
Persamaan suku banyak f(x) memiliki bentuk umum
seperti yang telah dibahas sebelumnya. Nilai suku banyak di titi x=k dapat
diperoleh dengan mengganti nilai x dengan kemudian menghitungnya secara Aljabar
biasa. Nilai f(x) dengan bentuk umumnya disuatu titik x=k dinyatakan dalam
persamaan dibawah ini:
F(x) = ankn + an-1kn-1
+ … + a1k + a0
Sebagian orang mungkin berpikir bahwa penulisan
huruf selalu disebut peubah. Mungkin saja dalam sebuah polinom terdapat dua
huruf. Bila itu terjadi, jadikan salah satunya sebagai koefisien atau
konstanta.
Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh (x-k) maka
sisanya adalah f(x) jika pembagi berderajat (n) maka sisanya berderajat (n-1).
Jika suku banyak berderajat (m) dan pembagi berderajat (n), maka hasil baginya
berderajat (m-n). Jika menggunakan teorema sisa namun jika menggunakan teorema
factor akan berbeda lagi, suatu suku banyak f(x) mempunyai factor (x-k) jika
f(x) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x-k) adalah 0. Misalkan jika (x-k) adalah
factor dari f(x) maka (k) dikatakan sebagai akar dari f(x).
1.2
Rumusan Masalah
1.2.1
Apa yang
dimaksud suku banyak (Polinomial)?
1.2.2
Bagaimana pembagian
suku banyak?
1.2.3
Bagaimanakah
sifat akar-akar suku banyak?
1.3
Tujuan
1.3.1
Dapat mengetahui
maksud suku banyak (Polinomial).
1.3.2
Dapat mengetahui
pembagian suku banyak.
1.3.3
Dapat mengetahui
sifat akar-akar suku banyak.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Suku Banyak
(Polinomal)
Suku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan
aljabar yang variabel (peubahnya) berpangkat Bilangan bulat non negative.
Bentuk umum :
y = F(x) = a0xn +
a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an
Dengan n Є bilangan bulat an ≠ 0
Pengertian-pengertian: a0, a1, a2 ,…, an-1 , an Disebut koefisien masing-masing
bilangan real (walaupun boleh juga bilangan kompleks) Derajat Suku Banyak
adalah pangkat tertinggi dari pangkat-pangkat pada tiap-tiap suku, disebut
n.Untuk suku banyak nol dikatakan tidak memiliki derajat.
Suku : a0xn , a1xn-1 , a2xn-2 , … , an-1x , an
Masing-masing merupakan suku dari suku banyak misalnya Suku Tetap (konstanta)
A0 adalah suku tetap atau konstanta, tidak mengandung variabel/peubah.
Sedangkan anxn adalah suku berderajat tinggi.
Mislanya Diketahui suku banyak: f(x) =
2x5+3x4-5x2+x-7 tentukan suku tetapnya? Maka suku tetapnya adalah konstanta.
Maka, dapat diartikan suku tetapnya adalah 7.
Adapun bentuk umum dari suku banyak sendiri:
2.2
Pembagian Suku Banyak
Adapun pembagian suku banyak
dapat dilihat dari Teorema Sisa dan Faktor agar lebih jelasnya dapat di
jabarkan sebagai berikut:
2.2.1 Teorema sisa
Jika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x –
k) maka sisanya adalah F(k) Jika pembagi
berderajat n maka sisanya
berderajat n – 1 Jika suku
banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil baginya berderajat m – n
Contoh:
F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5 dibagi
dengan P(x) = 2x2 – x – 1
a.
Pembagian biasa
Jadi hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x)
= x + 4
b. Cara Horner/Skema
Biasa digunakan untuk
pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat
difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1.
Cara:
Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn,
xn – 1, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka
koefisiennya ditulis 0)
Contoh: untuk 4x3 – 1, koefisien-koefisiennya
adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta)
Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil
baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)
Jika pembagi dapat
difaktorkan, maka:
·
Jika pembagi dapat
difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 +
S1
·
Jika pembagi dapat
difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 +
P1.S2 + S1
·
Jika pembagi dapat
difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4,
maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 +
P1.S2 + S1 dan seterusnya
Untuk soal di atas,
P(x) = 2x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)
P1 : 2x + 1 = 0 → x = –½
P2 : x – 1 = 0 → x = 1
Cara Hornernya:
H(x) = 1.x – 1 = x – 1
S(x) = P1.S2 + S1 =
(2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4
a. Cara koefisien tak
tentu
F(x) = P(x).H(x) + S(x)
Untuk soal di atas,
karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka
H(x) berderajat 3 – 2
= 1
S(x) berderajat 2 – 1
= 1
Jadi, misalkan H(x) =
ax + b dan S(x) = cx + d
Maka:
2x3 – 3x2 +
x + 5 = (2x2 – x – 1).(ax + b) + (cx + d)
Ruas kanan:
= 2ax3 +
2bx2 – ax2 – bx – ax – b + cx + d
= 2ax3 +
(2b – a)x2 + (–b – a + c)x + (–b + d)
Samakan koefisien ruas
kiri dan ruas kanan:
x3 → 2
= 2a → a = 2/2 = 1
x2 →
–3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1
x → 1 = –b – a + c → c
= 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1
Konstanta → 5 = –b + d
→ d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4
Jadi:
H(x) = ax + b = 1.x –
1 = x – 1
S(x) = cx + d = 1.x +
4 = x + 4
2.2.2 Teorema Faktor
Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x –
k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)
Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan
sebagai akar dari F(x).
Tips:
·
Untuk mencari akar
suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba
dengan angka dari faktor-faktor konstantanya ang akan memberikan sisa = 0
·
Jika jumlah koefisien
suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1
·
Jika jumlah koefisien
suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah
satu akarnya adalah x = –1
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari x3 – 2x2 –
x + 2 = 0
Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2, adalah ±1 dan ±2
Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 +
2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, jadi:
Jadi x3 – 2x2 – x + 2 = (x –
1)(x2 – x – 2)
= (x – 1)(x – 2)(x + 1)
x = 1 x = 2 x = –1
Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}
2.3 Sifat
Akar-Akar Suku Banyak
Pada persamaan berderajat 3: ax3 +
bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2,
x3 dengan sifat-sifat:
Jumlah 1 akar: x1 +
x2 + x3 = – b/a
Jumlah 2 akar: x1.x2 +
x1.x3 + x2.x3 = c/a
Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 =
– d/a
Pada persamaan berderajat 4: ax4 +
bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar
x1, x2, x3, x4 dengan sifat-sifat:
Jumlah 1 akar: x1 +
x2 + x3 + x4 = – b/a
Jumlah 2 akar: x1.x2 +
x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 +
x2.x4 + x3.x4 = c/a
Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 +
x1.x2.x4 + x2.x3.x4 =
– d/a
Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 =
e/a
Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat
menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya
(amati pola: –b/a, c/a, –d/a , e/a, …).
BAB III
KESIMPULAN DAN SARAN
3.1 Kesimpulan
Nilai dari suatu suku banyak atau polynomial di
suatu titik dapat ditentukan melalui dua cara, yaitu cara substitusi dan
horner. Cara substitusi diperoleh hanya dengan mengganti nilai variable x
dengan nilai dititik mana ingin diketahui nilai suku banyak f(x) tersebut.
Sedangkan cara yang ke dua, cara horner, diperoleh dengan meletakan
koefisien-koefisien yang dimiliki variable-variabelnya pada bagian dengan
aturan yang telah ditentukan.
Suku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan
aljabar yang variabel (peubahnya) berpangkat Bilangan bulat non negative.
Bentuk umum :
y = F(x) = a0xn +
a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an
Adapun
pembagian suku banyak dapat dilihat dari Teorema Sisa dan Faktor agar. Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh (x-k) maka
sisanya adalah f(x) jika pembagi berderajat (n) maka sisanya berderajat (n-1).
Jika suku banyak berderajat (m) dan pembagi berderajat (n), maka hasil baginya
berderajat (m-n). Jika menggunakan teorema sisa namun jika menggunakan teorema
factor akan berbeda lagi, suatu suku banyak f(x) mempunyai factor (x-k) jika
f(x) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x-k) adalah 0. Misalkan jika (x-k) adalah
factor dari f(x) maka (k) dikatakan sebagai akar dari f(x).
3.2 Saran
Dalam penyusunan tugas makalah ini,
penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan yang perlu ditambah dan
diperbaiki lagi. Untuk itu penulis mengharapkan inspirasi dan kritikan dari
para pembaca dalam membantu menyempurkan makalah ini. Untuk terakhir kalinya
penulis berharap agar dengan tugas makalah ini akan memberikan suatu wawasan
yang luas tentang materi suku banyak (Polinomial).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar