MAKALAH : Suku Banyak (Polinomial)

 MAKALAH

“Suku Banyak (Polinomial)”

 

BAB I
PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Suku banyak atau polinominal merupakan pernyataan matematika yang melibatkan penjumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variable dengan koefisien. Bisa dibilang polinominal merupakan bentuk aljabar dengan pangkat perubah bilangan bulat positif.

Polinom/ suku banyak adalah bentuk suku-suku dengan banyak terhingga yang disusun dari perubah/ variable dan konstanta. Operasi yang digunakan hanya penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pangkat bilangan bulat taknegatif (Positif).

Nilai dari suatu suku banyak atau polynomial di suatu titik dapat ditentukan melalui dua cara, yaitu cara substitusi dan horner. Cara substitusi diperoleh hanya dengan mengganti nilai variable x dengan nilai dititik mana ingin diketahui nilai suku banyak f(x) tersebut. Sedangkan cara yang ke dua, cara horner, diperoleh dengan meletakan koefisien-koefisien yang dimiliki variable-variabelnya pada bagian dengan aturan yang telah ditentukan.

Dalam sebuah polinom terdapat beberapa istilah, yaitu suku, peubah/variable, koefisien, suku tetap/konstanta, dan pangkat tertinggi/derajat. Berikut ini dijelaskan istilah-istilah tersebut berdasarkan bentuk umum polinom yang diungkapkan sebelumnya.

Persamaan suku banyak f(x) memiliki bentuk umum seperti yang telah dibahas sebelumnya. Nilai suku banyak di titi x=k dapat diperoleh dengan mengganti nilai x dengan kemudian menghitungnya secara Aljabar biasa. Nilai f(x) dengan bentuk umumnya disuatu titik x=k dinyatakan dalam persamaan dibawah ini:

F(x) = a_nkⁿ + a_n-₁k^n-1 + … + a₁k + _a0

Sebagian orang mungkin berpikir bahwa penulisan huruf selalu disebut peubah. Mungkin saja dalam sebuah polinom terdapat dua huruf. Bila itu terjadi, jadikan salah satunya sebagai koefisien atau konstanta.

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh (x-k) maka sisanya adalah f(x) jika pembagi berderajat (n) maka sisanya berderajat (n-1). Jika suku banyak berderajat (m) dan pembagi berderajat (n), maka hasil baginya berderajat (m-n). Jika menggunakan teorema sisa namun jika menggunakan teorema factor akan berbeda lagi, suatu suku banyak f(x) mempunyai factor (x-k) jika f(x) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x-k) adalah 0. Misalkan jika (x-k) adalah factor dari f(x) maka (k) dikatakan sebagai akar dari f(x).

1.2  Rumusan Masalah

1.2.1                  Apa yang dimaksud suku banyak (Polinomial)?

 

1.2.2                  Bagaimana pembagian suku banyak?

 

1.2.3                  Bagaimanakah sifat akar-akar suku banyak?

 

1.3  Tujuan

1.3.1                  Dapat mengetahui maksud suku banyak (Polinomial).

 

1.3.2                  Dapat mengetahui pembagian suku banyak.

 

1.3.3                  Dapat mengetahui sifat akar-akar suku banyak.

 

BAB II
PEMBAHASAN

2.1 Suku Banyak (Polinomal)

Suku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan aljabar yang variabel (peubahnya) berpangkat Bilangan bulat non negative. Bentuk umum :

y = F(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an

Dengan n Є bilangan bulat an ≠ 0 Pengertian-pengertian: a0, a1, a2 ,…, an-1 , an Disebut koefisien masing-masing bilangan real (walaupun boleh juga bilangan kompleks) Derajat Suku Banyak adalah pangkat tertinggi dari pangkat-pangkat pada tiap-tiap suku, disebut n.Untuk suku banyak nol dikatakan tidak memiliki derajat.

Suku : a0xn , a1xn-1 , a2xn-2 , … , an-1x , an Masing-masing merupakan suku dari suku banyak misalnya Suku Tetap (konstanta) A0 adalah suku tetap atau konstanta, tidak mengandung variabel/peubah. Sedangkan a_nx_n adalah suku berderajat tinggi.

Mislanya Diketahui suku banyak: f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7 tentukan suku tetapnya? Maka suku tetapnya adalah konstanta. Maka, dapat diartikan suku tetapnya adalah 7.

Adapun bentuk umum dari suku banyak sendiri:

2.2 Pembagian Suku Banyak

            Adapun pembagian suku banyak dapat dilihat dari Teorema Sisa dan Faktor agar lebih jelasnya dapat di jabarkan sebagai berikut:

2.2.1 Teorema sisa

            Jika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k) Jika pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n – 1 Jika suku banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil baginya berderajat m – n

Contoh:

F(x) = 2x³ – 3x² + x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x² – x – 1

 

a.       Pembagian biasa

 

Jadi hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x + 4

 

b.      Cara Horner/Skema

 

Biasa digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat  difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1.

Cara:

Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xⁿ, x^{n – 1}, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)

Contoh: untuk 4x³ – 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x³, x², x, dan konstanta)

 

Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)

Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:

·         Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P₁ dan P₂, maka S(x) = P₁.S₂ + S₁

·         Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P₁, P₂, P₃, maka S(x) = P₁.P₂.S₃ + P₁.S₂ + S₁

·         Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P₁, P₂, P₃, P₄, maka S(x) = P₁.P₂.P₃.S₄ + P₁.P₂.S₃ + P₁.S₂ + S₁ dan seterusnya

 

Untuk soal di atas,

P(x) = 2x² – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)

P₁ : 2x + 1 = 0 → x = –½

P₂ : x – 1 = 0 → x = 1

 

Cara Hornernya:

H(x) = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = P₁.S₂ + S₁ = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4

 

a.       Cara koefisien tak tentu

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

 

Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka

H(x) berderajat 3 – 2 = 1

S(x) berderajat 2 – 1 = 1

Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d

 

Maka:

2x³ – 3x² + x + 5 = (2x² – x – 1).(ax + b) + (cx + d)

 

Ruas kanan:

= 2ax³ + 2bx² – ax² – bx – ax – b + cx + d

= 2ax³ + (2b – a)x² + (–b – a + c)x + (–b + d)

 

Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan:

x³ → 2 = 2a → a = 2/2 = 1

x² → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1

x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1

Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4

 

Jadi:

H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4

 

2.2.2 Teorema Faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x).

 

Tips:

·         Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstantanya ang akan memberikan sisa = 0

·         Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1

·         Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = –1

 

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari x³ – 2x² – x + 2 = 0

Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2,  adalah ±1 dan ±2

Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, jadi:

 

 

Jadi x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1)(x² – x – 2)

= (x – 1)(x – 2)(x + 1)

x = 1   x = 2   x = –1

Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}

 

2.3 Sifat Akar-Akar Suku Banyak

Pada persamaan berderajat 3: ax³ + bx² + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x₁, x₂, x₃ dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ = – b/a

Jumlah 2 akar: x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₂.x₃ = c/a

Hasil kali 3 akar: x₁.x₂.x₃ = – d/a

 

Pada persamaan berderajat 4: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x₁, x₂, x₃, x₄ dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = – b/a

Jumlah 2 akar: x₁.x₂ + x₁.x₃ + x₁.x₄ + x₂.x₃ + x₂.x₄ + x₃.x₄ = c/a

Jumlah 3 akar: x₁.x₂.x₃ + x₁.x₂.x₄ + x₂.x₃.x₄ = – d/a

Hasil kali 4 akar: x₁.x₂.x₃.x₄ = e/a

 

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya

(amati pola:  –b/a, c/a, –d/a , e/a, …).

 

BAB III
KESIMPULAN DAN SARAN

3.1 Kesimpulan

Nilai dari suatu suku banyak atau polynomial di suatu titik dapat ditentukan melalui dua cara, yaitu cara substitusi dan horner. Cara substitusi diperoleh hanya dengan mengganti nilai variable x dengan nilai dititik mana ingin diketahui nilai suku banyak f(x) tersebut. Sedangkan cara yang ke dua, cara horner, diperoleh dengan meletakan koefisien-koefisien yang dimiliki variable-variabelnya pada bagian dengan aturan yang telah ditentukan.

Suku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan aljabar yang variabel (peubahnya) berpangkat Bilangan bulat non negative. Bentuk umum :

y = F(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an

Adapun pembagian suku banyak dapat dilihat dari Teorema Sisa dan Faktor agar. Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh (x-k) maka sisanya adalah f(x) jika pembagi berderajat (n) maka sisanya berderajat (n-1). Jika suku banyak berderajat (m) dan pembagi berderajat (n), maka hasil baginya berderajat (m-n). Jika menggunakan teorema sisa namun jika menggunakan teorema factor akan berbeda lagi, suatu suku banyak f(x) mempunyai factor (x-k) jika f(x) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x-k) adalah 0. Misalkan jika (x-k) adalah factor dari f(x) maka (k) dikatakan sebagai akar dari f(x).

3.2 Saran

Dalam penyusunan tugas makalah ini, penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan yang perlu ditambah dan diperbaiki lagi. Untuk itu penulis mengharapkan inspirasi dan kritikan dari para pembaca dalam membantu menyempurkan makalah ini. Untuk terakhir kalinya penulis berharap agar dengan tugas makalah ini akan memberikan suatu wawasan yang luas tentang materi suku banyak (Polinomial).